Stephan Klaus: Oberwolfacher Mathe-AG

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Die Mathe-AG startet wieder im September 2016! Am RGG steht Frau Glöckler interessierten Schülern als Ansprechpartner zur Verfügung. In 2016/2017 sollen die Themen "Zahlentheorie" und "Symmetrie" behandelt werden. Folgende Termine wurden bereits festgelegt (jeweils ein Mittwoch Nachmittag am MFO, 14:00-15:30, Busabfahrt am RGG ca. 13:30): 21.09.2016, 19.10.2016, 16.11.2016, 14.12.2016, 18.01.2017, 15.02.2017, 22.03.2017, 26.04.2017, 17.05.2017, 21.06.2017 und 12.07.2017.

(Bild der Mathe-AG von Martin Bizenberger, 13.06.2008)

Nächste Termine

Die aktuellen Termine der Mathe-AG kann man auf der Webseite der Schülerakademie Kinzigtal (ASK, "Akademie für Schüler im Kinzigtal") unter der Rubrik "Schüler bilden sich" finden.

Geschichte, Ziel und Arbeitsweise der Mathe-AG in Oberwolfach

Seit 2006 wurde am MFO unter der Leitung von Dr. Stephan Klaus zusammen mit dem Robert-Gerwig-Gymnasium (RGG) in Hausach (Link zur Mathe-AG am RGG) und mit dem Technischen Gymnasium (TG) in Wolfach eine "Mathe-AG" durchgeführt. Sie richtete sich an die in Mathematik interessierten und begabten Schüler aus Mittel- und Oberstufe der lokalen Gymnasien. Für die Gymnasien nahmen bis 2012 bzw. 2014 die Oberstudienräte Klaus Haas (Hausach) und Klaus Junker (Wolfach) an der Mathe-AG teil, die dann an andere Schulen wechselten. In 2015/2016 fand keine Mathe-AG statt, da leider keine betreuenden Lehrer gefunden werden konnten. Seit September 2016 wird die Mathe-AG von Frau Glöckler am RGG wieder betreut.

Bilder v.l.n.r.: S. Klaus (Bild von Patrick Merck), K. Haas (Bild vom RGG), K. Junker (Bild vom TG).
Bericht vom 13.06.2008 über die Mathe-AG im Offenburger Tageblatt von Martin Bizenberger.

Die Mathe-AG war ein gefördertes Projekt innerhalb der Initiative Schülerakademie Kinzigtal (ASK, "Akademie für Schüler im Kinzigtal"), des Rotary-Club Wolfach, die unter der Schirmherrschaft von Bundesinnenminister Wolfgang Schäuble läuft. Wir danken im Namen der Schüler herzlich dem Rotary-Club Wolfach und allen Förderen von ASK für die finanzielle Unterstützung der Fahrtkosten der Schüler ans MFO bis 2014.

Die Schüler können bei Interesse und auf Vorschlag ihrer Fachlehrer an der Mathe-AG teilnehmen, die einmal im Monat mittwochnachmittags für 2 Stunden am MFO im großen Vortragsraum stattfindet. Zusätzlich bieten die genannten Lehrer einen Übungs- und Nacharbeitungstermin an den Gymnasien an.

Das Konzept der Mathe-AG sieht Vorträge an der großen Tafelanlage mit eingebundenen Fragen und Diskussionen vor, gegebenenfalls auch Demonstrationen mit einem Computer und Beamer. Die Vorträge werden hauptsächlich von Stephan Klaus als Leiter gehalten, wobei die Schüler bei Fragen, Problemen, Zwischenrechnungen und Diskussionen aber auch oft an die Tafel kommen (und manchmal auch die Lehrer).

Der behandelte Stoff geht deutlich über die Schulmathematik hinaus, wobei natürlich auf höhere Methoden, die erst im universitären Mathematikstudium gelehrt werden, verzichtet wird. Stattdessen können viele Zusammenhänge und Theoreme der höheren Mathematik, teilweise sogar der aktuellen mathematischen Forschung, in ihrem Kern bereits mit einer einfachen mathematischen Sprache erfasst werden, die nicht viel mehr als die Schulmathematik benötigt.

In jeweils drei bis vier Sitzungen werden jeweils wechselnde Gebiete der Mathematik angesprochen. Die bisher behandelten Themen sind unten aufgelistet. Im Laufe der Zeit sollen auch immer wieder neue mathematische Themen behandelt werden. Hierzu gehören auch Anwendungen der Mathematik z.B. in der Physik, der Biologie und Medizin oder der Technik. Leitendes Prinzip bleibt die Vermittlung in einer Sprache, die keine mathematisch fortgeschrittenen Methoden verwendet und so den mathematischen Kern für die Schülerinnen und Schüler dieser Alterstufen verständlich macht.

Bisherige Themen der Oberwolfacher Mathe-AG

2. Halbjahr 2014

• Steilkurs Differential- und Integralrechnung

Grenzwerte, Ableitung einer Funktion, Ableitungsregeln, bestimmtes und unbestimmtes Integral, Hauptsatz der Integralrechnung, Rechnen mit Integralen, partielle Integration, Transformationsformel

• Gewöhnliche Differentialgleichungen

klassische Typen von gewöhnlichen Differentialgleichungen und ihren Lösungsmethoden, Beispiele aus Physik (Fall- und Schwingungsvorgänge), Biologie (Wachstum, logistische Gleichung, SIR-Modelle), Chemie (Reaktionskinetik), singuläres und asymptotisches Verhalten

1. Halbjahr 2014

• Galois-Theorie

Ober-, Unter- und Zwischenkörper, algebraische Erweiterungen, Dimensionsformel, Delisches Problem, Galois-Gruppe, Hauptsatz der Galois-Theorie, Gleichungen vom Grad größer vier, Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks, Fermatsche Primzahlen und Theorem von Gauß

• Symmetrie

Gruppenaxiome, zyklische Gruppen, Beispiele für abelsche Gruppen, die Symmetriegruppen der Platonischen Körper, Permutationen und symmetrische Gruppe, Gruppenhomomorphismen und Isomorphismen, Untergruppen, Bild und Kern eines Homomorphismus, Nebenklassen und der Satz von Lagrange, das Signum einer Permutation, Produktformel, die alternierende Gruppe, freie Gruppen, einfache Gruppen

2. Halbjahr 2013

• Die komplexen Zahlen und der Fundamentalsatz der Algebra

Motivation von i und Definition von C, Begriff des Körpers, Beispiele Q, R, C, Multiplikation in C als Drehstreckung, Gedrehte Koordinatensysteme, sin und cos, Additionstheoreme, Hamiltonsche Quaternionen, Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 2, 3 und 4, Quadratwurzeln in C, n-te Einheitswurzeln und Lösungen von z^n = a, Windungszahl, Homotopie-Invarianz, Beweis des Fundamentalsatzes

1. Halbjahr 2013

• Steilkurs Differential- und Integralrechnung

Grenzwerte, Ableitung einer Funktion, Ableitungsregeln, bestimmtes und unbestimmtes Integral, Hauptsatz der Integralrechnung, Rechnen mit Integralen, partielle Integration, Transformationsformel

• Differentialgleichungen und dynamische Systeme

Differentialgleichungen, Systeme erster Ordnung, Deutung als dynamische Systeme, Vektorfelder und Flüsse, Existenz- und Eindeutigkeitssatz, Fixpunkte und Gleichgewichte, Attraktoren, chaotische Gleichungen

• Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Beispiele aus der Mechanik und Elektronik, Schwingungsvorgänge, Dämpfung und Resonanz

• Variationsrechnung

Variationsprinzipien, berühmte Beispiele (Brachiostrone etc.), Euler-Lagrange-Gleichungen

• Partielle Differentialgleichungen

grundlegende Definitionen und Beispiele, Anwendungen in Physik und Technik, Feldtheorie, Hydrodynamik und Quantenmechanik

2. Halbjahr 2012

• n-dimensionale Geometrie

n-dimensionaler euklidischer Vektorraum, Geraden, Ebenen, Dreiecke, Abstände, Winkel, lineare Abbildungen und Matrizen, Spiegelungen, Drehungen, Scherungen, Volumen und Determinante, Multiplikationssatz, Entwicklungssatz, Inverse Abbildung, Eigenwerte und Eigenvektoren, Anwendungen auf Fibonacci-Zahlen, Exponentialreihen und Differentialgleichungen

1. Halbjahr 2012

• Perfekte Zahlen

Definition verwandter und perfekter Zahlen, Teilersummen, Primzahlen und eindeutige Zerlegbarkeit, Irrationalität von n-ten Wurzeln, Struktur der geraden perfekten Zahlen, Mersennesche Primzahlen, Fermatsche Primzahlen

• Pythagoreische Zahlentripel und Satz von Fermat für e=4

Elementarer Beweis des Satzes des Pythagoras, Kleine Beispiele für phytagoräische Tripel, Klassifikation aller phytagoräischen Tripel, Rationale Punkte auf dem Einheitskreis, Der Satz von Fermat zu a^4+b^4=c^2

• Quadratsummen, endliche Körper und quadratisches Reziprozitätsgesetz

komplexe Zahlen, Zweiquadratesatz, Quaternionen, Vierquadratesatz, Waringsches Problem, endliche Körper, Quadrate in endlichen Körpern, Legendre-Symbol, quadratisches Reziprozitätsgesetz

2. Halbjahr 2011

• Knotentheorie

Knoten und Verschlingungen, Projektionen, Äquivalenz, Reidemeister-Transformationen, Kleeblatt und Achterknoten, Knotentafeln, Der Achterknoten ist amphichiral, Geschlossene und berandete Flächen, Geschlecht, Seifert-Flächen, Existenz, Zusammenhängende Summe von Knoten und Flächen, Geschlecht eines Knotens, Additivität, Verschlingungszahlen, Selbstverschlingungszahl, Kauffman-Klammer und Jones-Polynom

1. Halbjahr 2011

• Unendliche Reihen und Funktionenreihen

Konvergenz und Divergenz, Beispiele, Kriterien, Funktionenreihen, Taylorreihen, Theorem von Euler, Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen, Fourierreihen, Fourierzerlegung, Beispiele

• Schwingungsvorgänge

schwingende Saite, schwingende quadratische Membran, schwingende Kreismembran, Besselfunktionen, Knotenlinien, Wasserstoffatom, Schrödingergleichung, Kugelflächenfunktionen, Atomorbitale

• Dirichletreihen

Riemannsche Zetafunktion, Konvergenz, Eulerprodukt, Riemannsche Vermutung, Dirichletreihen, Dirichletscher Primzahlsatz mit Beweisskizze

2. Halbjahr 2010

• Die komplexen Zahlen und der Fundamentalsatz der Algebra

Motivation von i und Definition von C, Begriff des Körpers, Beispiele Q, R, C, Multiplikation in C als Drehstreckung, Gedrehte Koordinatensysteme, sin und cos, Additionstheoreme, Hamiltonsche Quaternionen, Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 2, 3 und 4, Quadratwurzeln in C, n-te Einheitswurzeln und Lösungen von z^n = a, Windungszahl, Homotopie-Invarianz, Beweis des Fundamentalsatzes

• Reelle algebraische Kurven

klassische Beispiele reeller Kurven (algebraisch und transzendent), elliptische Kurven, kartesisches Blatt, Lemniskate, Zykloide, Doppelpunkte, Tripelpunkte, Singularitäten, Satz von Bezout

1. Halbjahr 2010

• Differentialgleichungen

Steilkurs in Differential- und Integralrechnung / Beispiele für wichtige Funktionen und ihre Graphen / eigentliche und uneigentliche Grenzwerte / Sekante, Tangente und Ableitung / Ableitungsregeln / unbestimmtes Integral / bestimmtes Integral und Hauptsatz der Integralrechnung / Integrationsregeln / Gewöhnliche Differentialgleichungen / lineare Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung / Anwendung auf Wachstums- und Schwingungsvorgänge / allgemeine Differentialgleichung 1. Ordnung und Trennung der Variablen / logistische Differentialgleichung / Lotka-Volterra-Differentialgleichungen / Anwendungen auf biologische Systeme / SIR-Modelle / Dynamische Systeme / Vektorfelder und Flüsse / Mannigfaltigkeiten / stationäre Punkte / Stabilität / Instabilität und Chaos / Eulercharakteristik und Index eines Vektorfeldes / Beispiele: Newtonsche Lösung des Zweikörperproblems / mathematisches Pendel / Rotation starrer Körper / irrationaler Fluss auf einem Torus / Doppelpendel / Dreikörperproblem / Lorenz-Attraktor

2. Halbjahr 2009

• Relativitätstheorie

Klassische Raum-Zeit / Newton-Axiome / Inertialsysteme und Galilei-Transformationen / Michelson-Morley-Experiment und Konstanz der Lichtgeschwindigkeit / Relativitätsprinzip und Relativität der Gleichzeitigkeit / spezielle Relativitätstheorie und Lorentztransformationen / Zeitdilatation und Zwillingsparadoxon / Lorentz-Kontraktion / Additionstheorem für Geschwindigkeiten / tan(a+b) und tanh(a+b) / träge und schwere Masse / Mössbauer-Effekt / Lichtablenkung an schweren Massen / Deformation der Raum-Zeit / Schwarzschild-Radius / Vergleich einiger Massenverteilungen in Mikro- und Makrokosmos / schwarze Löcher / Bemerkungen zur allgemeinen Relativitätstheorie

1. Halbjahr 2009

• Endliche Körper und Kryptographie

Kryptographie: Grundbegriffe und einfache Methoden / Modularithmetik / Nullteiler / Untergruppen von Z / Injektivität, Surjektivität und Bijektivität / Die endlichen Körper Z/p / Kleiner Satz von Fermat / Die RSA-Verschlüsselung

• Gruppentheorie

Die Gruppenaxiome / Beispiele für abelsche Gruppen / Die Symmetriegruppen der Platonischen Körper / Permutationen und symmetrische Gruppe / Gruppenhomomorphismen und Isomorphismen / Untergruppen / Bild und Kern eines Homomorphismus / Nebenklassen und der Satz von Lagrange / Das Signum einer Permutation, Produktformel / Die alternierende Gruppe / Freie Gruppen / Einfache Gruppen / Lineare Gruppen / Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen / das Monster

2. Halbjahr 2008

• Gekrümmte Flächen

Volumen und Oberfläche von Zylinder, Kegel und Kugel / Cavalierisches Prinzip / Torus / orientierbare und nicht-orientierbare Flächen / Flächen vom Geschlecht n

• Euler-Charakteristik und Krümmung

Triangulierung einer Fläche / Beispiele: Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder / Eulercharakteristik ? / Sphärische Trigonometrie, Kugelzweieck und Kugeldreieck / Beweis der Invarianz von ? / Verklebeformel und ?(M_g) = 2(1-g) / anschauliche Bedeutung von Krümmung / Das Gauß-Bonnet-Theorem

• Gekrümmte Räume

Dreidimensionaler Torus / Hypersphäre / Kleinscher Raum und Poincaréscher Dodekaederraum / Die Eulercharakteristik jeder geschlossenen Dreimannigfaltigkeit verschwindet: ?(M³)=0

1. Halbjahr 2008

• Algebraische Flächen und das Computeralgebraprogramm "Surfer"

Gleichung der Kugeloberfläche / Koordinatentransformationen und Symmetrie / Quadriken: Kegel, 1-schalige und 2-schalige Hyperboloide, Paraboloid, Zylinderflächen, Ellipsoide / Rotationssymmetrie / Gleichung des Torus / Von der Kugel zum Würfel / Lemniskate und Hantel / Affensattel und Real- bzw. Imaginärteil von z^n / Abstandsflächen um n-te Einheitswurzeln / Umformung rationaler Funktionen, Polstellen / Vereinigungen und Schnitte (z.B. Zylinderflächen) / Singularitäten und Deformationen / Homogene Polynome

• Wahrscheinlichkeitstheorie und zufällige Prozesse

Zufall, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit / Lotto 6 aus 49 / Kolmogorov-Axiome / Bernoulli-Experimente / Wiederholung von Experimenten / Binomial-Verteilung / Grenzübergang p=1/n und n-faches Wiederholen / Grenzwerte / Stetige Verzinsung und Eulersche Zahl e / Übertragung in einer Nachrichtenkette / Zufallsvariable und Erwartungswerte / Erwartungswert der Binomial-Verteilung / Poisson-Verteilung

• Rechnen mit Matrizen

Lineare Gleichungen, Vektoren, Matrizen / Rechnen mit Matrizen / Invertierbare Matrizen und Determinante / Lösung einer linearen Gleichung

2. Halbjahr 2007

• Perfekte Zahlen

Definition verwandter und perfekter Zahlen / Teilersummen / Primzahlen und eindeutige Zerlegbarkeit / Irrationalität von n-ten Wurzeln / Struktur der geraden perfekten Zahlen / Fermatsche Primzahlen

• Pythagoreische Zahlentripel und Satz von Fermat für e=4

Elementarer Beweis des Satzes des Pythagoras / Kleine Beispiele für phytagoräische Tripel / Klassifikation aller phytagoräischen Tripel / Rationale Punkte auf dem Einheitskreis / Der Satz von Fermat zu a^4+b^4=c^2

1. Halbjahr 2007

• Knotentheorie und Jones-Polynom

Knoten und Verschlingungen, Projektionen, Äquivalenz / Reidemeister-Transformationen / Kleeblatt und Achterknoten, Knotentafeln / Der Achterknoten ist amphichiral / Dreifärbbarkeit und Kleeblattknoten / Geschlossene und berandete Flächen, Geschlecht / Seifert-Flächen, Existenz / Zusammenhängende Summe von Knoten und Flächen / Geschlecht eines Knotens, Additivität / Verschlingungszahlen / Selbstverschlingungszahl, Kauffman-Klammer und Jones-Polynom

• Die komplexen Zahlen

Motivation von i und Definition von C / Begriff des Körpers, Beispiele Q, R, C / Multiplikation in C als Drehstreckung / Gedrehte Koordinatensysteme, sin und cos, Additionstheoreme / Hamiltonsche Quaternionen / Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 2, 3 und 4

• Der Fundamentalsatz der Algebra

Quadratwurzeln in C / n-te Einheitswurzeln und Lösungen von z^n = a / Windungszahl / Homotopie-Invarianz / Beweis des Fundamentalsatzes

2. Halbjahr 2006

• Pascalsches Dreieck und Binomialkoeffizienten

1., 2. und 3. binomische Formel / Binomialkoeffizient, Symmetrie, Summenformel / Allgemeine binomische Formel für (x+y)^n / Anzahl der Teilmengen einer Menge / Definition und Zusammenhang mit Fakultät

• Arithmetische und geometrische Reihen der Ordnung n

Das Summenzeichen / Summenformel für arithm. Reihen 0., 1., und 2. Ordnung / Differenzreihen / Arithmetische Reihe der Ordnung n / Summe von Potenzen / Geometrische Reihen / Geometrische Reihen höherer Ordnung / Konvergenz einer geometrischen Reihe / Divergenz der harmonischen Reihe

Teilnehmer an der Mathe-AG in Oberwolfach

Die Teilnehmerzahl schwankt wegen häufiger Zu- und Abgänge, Prüfungs- und Abiturvorbereitungen etc. zwischen 12 bis 20 Schülern.

Erwähnenswert ist auch, dass Sebastian Messmer (Teilnehmer der Mathe-AG 2006-08) im März 2008 sehr erfolgreich beim landesweiten Aufgabenwettbewerb des Fachbereichs Mathematik der Universität Karlsruhe teilgenommen hat: An dem Wettbewerb haben 38 Gymnasien mit 54 Teams aus ganz Baden-Württemberg teilgenommen. Das Team des Gymnasiums Hausach mit Sebastian Messmer hat den Wettbewerb gewonnen.