V49 - Einführung in die Homotopie-Theorie - Material

Vorlesung: 

Einführung in die Homotopie-Theorie
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Wintersemester 2025/26

Vorläufiges Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

  1. Homotopie und (Ko-)Homologie 
  2. Modellkategorien
  3. Simpliziale Homotopietheorie
  4. Eilenberg-MacLane-Räume und Kohomologie-Operationen
  5. Zerlegungen von Postnikov, Whitehead und Brown-Copeland
  6. Theoreme von Hurewicz, Whitehead und Freudenthal
  7. Die Adams-Spektralsequenz und einige Homotopiegruppen von Sphären

Vorläufige Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Homotopie und (Ko-)Homologie

  • Zellen, CW-Komplexe und zelluläre Abbildungen
  • wedge-Summe und smash-Produkt, Kegel und Suspension
  • Pfadraum, Schleifenraum, Exponentialgesetze
  • Beispiele: Scheiben, Sphären, Projektive Räume
  • Homotopie reduziert/unreduziert und Homotopie-Äquivalenzen
  • Zelluläre Approximation
  • Fundamentalgruppe und Überlagerungen
  • Höhere Homotopie-Gruppen
  • Homologietheorie reduziert/unreduziert
  • Konstruktion von Homologie
  • Einige Folgerungen aus den Axiomen
  • Brouwerscher Fixpunktsatz
  • Zelluläre Homologie
  • Kohomologie und Produkte

2. Modellkategorien

  • Faserungen und LES in Homotopie
  • Faserbündel und Hopf-Abbildungen
  • Verwandeln von Abbildungen in Faserungen
  • Kofaserungen und LES in (Ko)Homologie
  • Unter-CW-Komplexe
  • Verwandeln von Abbildungen in Kofaserungen
  • Schwache Äquivalenzen und erstes Theorem von Whitehead
  • Axiome einer Modellkategorie
  • Beispiel Homotopiekategroie
  • Hurewicz-Abbildung
  • Theorem von Hurewicz
  • Zweites Theorem von Whitehead

3. Simpliziale Homotopietheorie

  • Simpliziale Komplexe und simpliziale Mengen
  • Totale simpliziale Mengen und geometrische Realisierung
  • Die Kan-Eigenschaft und Struktur als Modellkategorie
  • Simpliziale Gruppen und Moore-Komplex
  • Die Kan-Schleifengruppe und klassifizierende Räume

4. Eilenberg-MacLane-Räume und Kohomologie-Operationen

  • Prinzipalfaserbündel und Klassifizierende Räume
  • Eilenberg-MacLane-Räume und deren Konstruktion
  • Darstellungssatz für Kohomologie
  • Kohomologie-Operationen und Yoneda-Lemma
  • Steenrod-Squares und weitere Operationen
  • Die Steenrod-Algebra
  • Beispiele und Anwendungen

5. Zerlegungen von Postnikov, Whitehead und Brown-Copeland

  • Postnikov-Zerlegung und k-Invarianten
  • Höhere Überlagerungen und Whitehead-Zerlegung
  • Beispiele
  • Brown-Copeland-Zerlegung
  • Moore-Räume
  • (Nicht-)Funktorialität der Zerlegungen
  • Die Serre-Spektralsequenz und Anwendungen
  • Berechnung einiger Homotopiegruppen

6. Theoreme von Hurewicz, Whitehead und Freudenthal

  • Theorem von Hurewicz
  • Zweites Theorem von Whitehead
  • Theorem von Freudenthal
  • Spektren und Stabile Homotopietheorie
  • Triangulierte Kategorien

7. Die Adams-Spektralsequenz und einige Homotopiegruppen von Sphären

  • Die Adams-Zerlegung
  • Spektralsequenzen vom Adams-Typ
  • EXT und Adams-Spektralsequenz
  • Stabiler und instabiler Fall
  • Absteigende Zentralreihe
  • Die Lambda-Algebra
  • Hopf-Invariante und Whitehead-Produkt
  • Das Hopf-Invariante-1-Problem
  • Kervaire-Invariante