V51 - Monstrous Moonshine - Material

Vorlesung: 

Monstrous Moonshine
von Prof. Dr. Stephan Klaus

Vorläufiges Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

  1. Einführung und Darstellungstheorie endlicher Gruppen 
  2. Ganzzahlige quadratische Formen
  3. Gitter, Codes und Automorphismengruppen
  4. Vertex Operator Algebren
  5. Konstruktion der Monster-Gruppe
  6. Die j-Funktion in der komplexen Analysis
  7. Beweisidee von Monstrous Moonshine und weitere Zusammenhänge

Vorläufige Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Einführung und Darstellungstheorie endlicher Gruppen

  • Was ist Monstrous Moonshine?
  • Endliche Gruppen, einfache Gruppen und Klassifikation
  • Komplexe Darstellungen und Charaktere
  • Orthogonalitätsrelationen und weitere Eigenschaften
  • Beispiele für Charaktertafeln

2. Ganzzahlige quadratische Formen

  • Eigenschaften und Invarianten von Gittern und quadratischen Formen
  • Beispiele: Inm, H2 und E8
  • Klassifikation der indefiniten ganzzahligen Formen
  • Definite ganzzahlige Formen
  • Das Leech-Gitter L24
  • Klassifikation bis Dimension 24

3. Gitter, Codes und Automorphismengruppen

  • Grundlagen aus der Kodierungstheorie
  • Die Golay-Codes
  • Zusammenhang mit L24
  • Automorphismengruppen
  • Die Conway-Gruppen

4. Vertex Operator Algebren

  • Quantenmechanik (QM)
  • Quantenfeldtheorie (QFT)
  • Konforme Feldtheorie (CFT)
  • Vertex Operator Algebren (VOA)

5. Konstruktion der Monster-Gruppe

  • Die Griess-Algebra
  • Die Monster-VOA 
  • Konstruktion von M

6. Die j-Funktion in der komplexen Analysis

  • Raum der Gitter in C und SL2(Z)
  • Modulformen
  • Die j-Funktion

7. Beweisidee von Monstrous Moonshine und weitere Zusammenhänge

  • Skizze des Beweises von Borcherds
  • Moonshine für andere sporadische Gruppen
  • Ein Vorschlag von Hirzebruch